합과 곱

n개의 숫자가 있을때 그 숫자들의 합을 일정하게 유지하면서 곱은 최대치로 되게 해주는 방법은 무엇일까?

단순히 생각해보면 크게 2가지의 상황이 있다.

1. 하나의 숫자를 매우 작게 하고 다른 하나의 숫자를 크게 할 때

2. 두개의 숫자의 차를 매우 작게 하기 \(\begin {align} 1 \ \times \ &11 =\ 11 \\ 6\ \times\ & \ \ 6 = \ 36 \end {align}\)

3. 단순히 몇번 계산만 해봐도 알 수 있는 간단한 문제이다.

4. 이 이유에 대한 심플한 증명은 \(\begin {align} a^2 \ + 2ab \ + b^2 & = \left(a+b\right)^2 \\ a^2 \ - 2ab \ + b^2 & = \left(a-b\right)^2 \\ ab & = \frac{\left(\left(a+b\right)^2 - \left(a-b\right)^2\right)}{4} \\ & = \frac{\left(C^2 - \left(a-b\right)^2\right)}{4} \\ \end {align} \\ \therefore 두\ 숫자가 \ 일정할때 \ 곱이\ 최대가\ 되기 위해선\\ 두 숫자의 차가 최소가 되어야 한다\)

5. 곱이 최대가 되는 값을 구하기 위해선 산술기하평균을 이용하면 곱이 최대가 되는 최소값을 구할 수 있다. \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ge \sqrt[n]{a_1\times a_2 \dots\times a_n}\) 곱이 최대가 되는 값의 최소값은 n의 평균이다.